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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Importante: la nota definitiva de este examen queda sujeta a una posible instancia oral complementaria.
Ejercicio 1
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sean A = ( a , 4 ) A = (a, 4) A = ( a , 4 ) P = ( 1 , − 1 ) P = (1, -1) P = ( 1 , − 1 ) Q = ( 3 , − 5 ) Q = (3, -5) Q = ( 3 , − 5 ) a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R d i s t ( A , P ) = d i s t ( A , Q ) dist(A, P) = dist(A, Q) d i s t ( A , P ) = d i s t ( A , Q )
Ver solución (sin revisar) La distancia entre dos puntos es d i s t ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 dist\big((x_1, y_1), (x_2, y_2)\big) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} d i s t ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
d i s t ( A , P ) 2 = ( 1 − a ) 2 + ( − 1 − 4 ) 2 = a 2 − 2 a + 1 + 25 = a 2 − 2 a + 26 d i s t ( A , Q ) 2 = ( 3 − a ) 2 + ( − 5 − 4 ) 2 = a 2 − 6 a + 9 + 81 = a 2 − 6 a + 90 \begin{aligned}
dist(A, P)^2 &= (1 - a)^2 + (-1 - 4)^2 = a^2 - 2a + 1 + 25 = a^2 - 2a + 26 \\
dist(A, Q)^2 &= (3 - a)^2 + (-5 - 4)^2 = a^2 - 6a + 9 + 81 = a^2 - 6a + 90
\end{aligned} d i s t ( A , P ) 2 d i s t ( A , Q ) 2 = ( 1 − a ) 2 + ( − 1 − 4 ) 2 = a 2 − 2 a + 1 + 25 = a 2 − 2 a + 26 = ( 3 − a ) 2 + ( − 5 − 4 ) 2 = a 2 − 6 a + 9 + 81 = a 2 − 6 a + 90 Igualamos:
a 2 − 2 a + 26 = a 2 − 6 a + 90 ⟺ 4 a = 64 ⟺ a = 16. a^2 - 2a + 26 = a^2 - 6a + 90 \iff 4a = 64 \iff a = 16 . a 2 − 2 a + 26 = a 2 − 6 a + 90 ⟺ 4 a = 64 ⟺ a = 16. Verificación: con A = ( 16 , 4 ) A = (16, 4) A = ( 16 , 4 ) d i s t ( A , P ) 2 = 15 2 + 5 2 = 250 dist(A, P)^2 = 15^2 + 5^2 = 250 d i s t ( A , P ) 2 = 1 5 2 + 5 2 = 250 d i s t ( A , Q ) 2 = 13 2 + 9 2 = 250 dist(A, Q)^2 = 13^2 + 9^2 = 250 d i s t ( A , Q ) 2 = 1 3 2 + 9 2 = 250
Respuesta: a = 16 a = 16 a = 16
Ejercicio 2
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Hallar la función cuadrática f f f ( 4 , 16 ) (4, 16) ( 4 , 16 ) ( 0 , − 32 ) (0, -32) ( 0 , − 32 )
Ver solución (sin revisar) Una cuadrática con vértice ( x v , y v ) (x_v, y_v) ( x v , y v ) f ( x ) = a ( x − x v ) 2 + y v f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v f ( x ) = a ( x − x v ) 2 + y v a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 ( 4 , 16 ) (4, 16) ( 4 , 16 )
f ( x ) = a ( x − 4 ) 2 + 16. f(x) = a(x - 4)^2 + 16 . f ( x ) = a ( x − 4 ) 2 + 16. Como pasa por ( 0 , − 32 ) (0, -32) ( 0 , − 32 )
f ( 0 ) = a ( 0 − 4 ) 2 + 16 = 16 a + 16 = − 32 ⟺ 16 a = − 48 ⟺ a = − 3. f(0) = a(0 - 4)^2 + 16 = 16a + 16 = -32 \iff 16a = -48 \iff a = -3 . f ( 0 ) = a ( 0 − 4 ) 2 + 16 = 16 a + 16 = − 32 ⟺ 16 a = − 48 ⟺ a = − 3. Entonces
f ( x ) = − 3 ( x − 4 ) 2 + 16 = − 3 x 2 + 24 x − 32. f(x) = -3(x - 4)^2 + 16 = -3x^2 + 24x - 32 . f ( x ) = − 3 ( x − 4 ) 2 + 16 = − 3 x 2 + 24 x − 32. Verificación: f ( 0 ) = − 32 f(0) = -32 f ( 0 ) = − 32 x v = − 24 2 ⋅ ( − 3 ) = 4 x_v = -\dfrac{24}{2 \cdot (-3)} = 4 x v = − 2 ⋅ ( − 3 ) 24 = 4 f ( 4 ) = 16 f(4) = 16 f ( 4 ) = 16
Respuesta: f ( x ) = − 3 ( x − 4 ) 2 + 16 f(x) = -3(x - 4)^2 + 16 f ( x ) = − 3 ( x − 4 ) 2 + 16 f ( x ) = − 3 x 2 + 24 x − 32 f(x) = -3x^2 + 24x - 32 f ( x ) = − 3 x 2 + 24 x − 32
Ejercicio 3
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sean f ( x ) = 6 8 − x f(x) = \dfrac{6}{8 - x} f ( x ) = 8 − x 6 g ( x ) = 2 x + 3 g(x) = 2x + 3 g ( x ) = 2 x + 3 h ( x ) = f ∘ g ( x ) h(x) = f \circ g(x) h ( x ) = f ∘ g ( x ) h − 1 h^{-1} h − 1
Ver solución (sin revisar) La composición. h ( x ) = f ( g ( x ) ) = 6 8 − ( 2 x + 3 ) = 6 5 − 2 x h(x) = f\big(g(x)\big) = \dfrac{6}{8 - (2x + 3)} = \dfrac{6}{5 - 2x} h ( x ) = f ( g ( x ) ) = 8 − ( 2 x + 3 ) 6 = 5 − 2 x 6 x ≠ 5 2 x \neq \dfrac{5}{2} x = 2 5 h h h 0 0 0 Im ( h ) = R − { 0 } \operatorname{Im}(h) = \mathbb{R} - \{0\} Im ( h ) = R − { 0 }
La inversa. Despejamos x x x y = 6 5 − 2 x y = \dfrac{6}{5 - 2x} y = 5 − 2 x 6 y ≠ 0 y \neq 0 y = 0
5 − 2 x = 6 y ⟺ 2 x = 5 − 6 y = 5 y − 6 y ⟺ x = 5 y − 6 2 y . 5 - 2x = \frac{6}{y} \iff 2x = 5 - \frac{6}{y} = \frac{5y - 6}{y} \iff x = \frac{5y - 6}{2y} . 5 − 2 x = y 6 ⟺ 2 x = 5 − y 6 = y 5 y − 6 ⟺ x = 2 y 5 y − 6 . Entonces
h − 1 ( x ) = 5 x − 6 2 x , Dom ( h − 1 ) = R − { 0 } = Im ( h ) . h^{-1}(x) = \frac{5x - 6}{2x}, \qquad \operatorname{Dom}(h^{-1}) = \mathbb{R} - \{0\} = \operatorname{Im}(h) . h − 1 ( x ) = 2 x 5 x − 6 , Dom ( h − 1 ) = R − { 0 } = Im ( h ) . Verificación: h − 1 ( h ( x ) ) = 5 ⋅ 6 5 − 2 x − 6 2 ⋅ 6 5 − 2 x = 30 − 6 ( 5 − 2 x ) 12 = 12 x 12 = x h^{-1}\big(h(x)\big) = \dfrac{5 \cdot \frac{6}{5 - 2x} - 6}{2 \cdot \frac{6}{5 - 2x}} = \dfrac{30 - 6(5 - 2x)}{12} = \dfrac{12x}{12} = x h − 1 ( h ( x ) ) = 2 ⋅ 5 − 2 x 6 5 ⋅ 5 − 2 x 6 − 6 = 12 30 − 6 ( 5 − 2 x ) = 12 12 x = x
Las asíntotas de h − 1 h^{-1} h − 1
Vertical: el denominador se anula en x = 0 x = 0 x = 0 − 6 ≠ 0 -6 \neq 0 − 6 = 0 lim x → 0 ∣ h − 1 ( x ) ∣ = + ∞ \displaystyle \lim_{x \to 0} \left| h^{-1}(x) \right| = +\infty x → 0 lim h − 1 ( x ) = + ∞ x = 0 x = 0 x = 0
Horizontal: lim x → ± ∞ 5 x − 6 2 x = lim x → ± ∞ ( 5 2 − 3 x ) = 5 2 \displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x - 6}{2x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{5}{2} - \frac{3}{x} \right) = \frac{5}{2} x → ± ∞ lim 2 x 5 x − 6 = x → ± ∞ lim ( 2 5 − x 3 ) = 2 5 y = 5 2 y = \dfrac{5}{2} y = 2 5
Respuesta: h − 1 ( x ) = 5 x − 6 2 x h^{-1}(x) = \dfrac{5x - 6}{2x} h − 1 ( x ) = 2 x 5 x − 6 x = 0 x = 0 x = 0 y = 5 2 y = \dfrac{5}{2} y = 2 5
(Son las de h h h h h h x = 5 2 x = \dfrac{5}{2} x = 2 5 y = 0 y = 0 y = 0
Ejercicio 4
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = 4 sen ( x ) − 2 f(x) = 4 \operatorname{sen}(x) - 2 f ( x ) = 4 sen ( x ) − 2 x ∈ [ 0 ; 2 π ] x \in [0; 2\pi] x ∈ [ 0 ; 2 π ] f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0
Ver solución (sin revisar) f ( x ) = 0 ⟺ 4 sen ( x ) − 2 = 0 ⟺ sen ( x ) = 1 2 . f(x) = 0 \iff 4 \operatorname{sen}(x) - 2 = 0 \iff \operatorname{sen}(x) = \frac{1}{2} . f ( x ) = 0 ⟺ 4 sen ( x ) − 2 = 0 ⟺ sen ( x ) = 2 1 . En [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ] sen ( π 6 ) = 1 2 \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} sen ( 6 π ) = 2 1 sen ( π − x ) = sen ( x ) \operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen}(x) sen ( π − x ) = sen ( x ) x = π − π 6 = 5 π 6 x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} x = π − 6 π = 6 5 π 2 π 2\pi 2 π
Respuesta: x = π 6 x = \dfrac{\pi}{6} x = 6 π x = 5 π 6 x = \dfrac{5\pi}{6} x = 6 5 π