1° Parcial Tema 2C · Matemática 51 (1C 2026) · CBC

Este examen todavía no lo revisó un docente: la transcripción y las soluciones pueden tener errores. Cada ejercicio indica qué ya está revisado. Si encontrás un error, avisame.

En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Importante: la nota definitiva de este examen queda sujeta a una posible instancia oral complementaria.

Ejercicio 1

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Sean $f$ la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(6, 1)$ y $A = \{x \in \mathbb{R} : 26x \geq f(x)\}$ . Escribir al conjunto $A$ como intervalo o unión de intervalos.

Ver solución (sin revisar)

La función lineal. Escribimos $f(x) = mx + b$ . La pendiente es

m = \frac{1 - (-4)}{6 - 1} = \frac{5}{5} = 1 .

Como pasa por $(1, -4)$ : $f(1) = 1 \cdot 1 + b = -4 \iff b = -5$ . Entonces $f(x) = x - 5$ .

Verificación: $f(6) = 6 - 5 = 1$ .

El conjunto $A$ . Resolvemos la inecuación:

26x \geq x - 5 \iff 25x \geq -5 \iff x \geq -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5} .

(Dividimos por $25 > 0$ , así que la desigualdad no cambia de sentido.)

Respuesta: $A = \left[-\dfrac{1}{5}; +\infty\right)$ .

Ejercicio 2

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Hallar el conjunto de positividad de la función $f(x) = (x^2 - 16)(x^2 - 12x + 36)$ .

Ver solución (sin revisar)

Factorizamos cada factor:

x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4), \qquad x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 .

Entonces $f(x) = (x - 4)(x + 4)(x - 6)^2$ , con ceros en $x = -4$ , $x = 4$ y $x = 6$ (este último doble).

El factor $(x - 6)^2$ es positivo para todo $x \neq 6$ y vale $0$ en $x = 6$ . Por lo tanto, $f(x) > 0$ exactamente cuando $x^2 - 16 > 0$ y $x \neq 6$ :

x^2 - 16 > 0 \iff x^2 > 16 \iff |x| > 4 \iff x < -4 \ \text{ o } \ x > 4 .

Control con valores de prueba en cada intervalo:

Intervalo	Valor	$x^2 - 16$	$(x-6)^2$	$f(x)$
$(-\infty; -4)$	$x = -5$	$9$	$121$	$+$
$(-4; 4)$	$x = 0$	$-16$	$36$	$-$
$(4; 6)$	$x = 5$	$9$	$1$	$+$
$(6; +\infty)$	$x = 7$	$33$	$1$	$+$

Respuesta: $C^+ = (-\infty; -4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)$ .

Ejercicio 3

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Sea $f(x) = \dfrac{1 - 24x}{12 - 4x}$ . Hallar el conjunto de ceros de $f$ y dar las ecuaciones de todas las asíntotas de $f$ .

Ver solución (sin revisar)

Dominio. $12 - 4x = 0 \iff x = 3$ , así que $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{3\}$ .

Ceros. $f(x) = 0 \iff 1 - 24x = 0 \iff x = \dfrac{1}{24}$ , que está en el dominio.

C^0 = \left\{ \frac{1}{24} \right\}

Asíntota vertical. En $x = 3$ el denominador se anula y el numerador vale $1 - 24 \cdot 3 = -71 \neq 0$ , así que $\displaystyle \lim_{x \to 3} |f(x)| = +\infty$ . Asíntota vertical: $x = 3$ .

Asíntota horizontal. Dividimos numerador y denominador por $x$ :

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 24x}{12 - 4x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - 24}{\frac{12}{x} - 4} = \frac{-24}{-4} = 6 .

Asíntota horizontal: $y = 6$ . (Como es un cociente de polinomios de grado 1, no hay asíntota oblicua.)

Respuesta: $C^0 = \left\{ \dfrac{1}{24} \right\}$ ; asíntota vertical $x = 3$ y asíntota horizontal $y = 6$ .

Ejercicio 4

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Sean $f(x) = x - 6$ y $g(x) = \ln(2x + 6) - 4$ . Hallar $h = g \circ f$ y dar el dominio de $h$ .

Ver solución (sin revisar)

La composición. $h(x) = g\big(f(x)\big) = \ln\big(2(x - 6) + 6\big) - 4 = \ln(2x - 12 + 6) - 4$ , o sea

h(x) = \ln(2x - 6) - 4 .

El dominio. El logaritmo necesita argumento positivo ( $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$ , así que no agrega restricciones):

2x - 6 > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3 .

Verificación: $h(4) = \ln(2) - 4$ y también $g\big(f(4)\big) = g(-2) = \ln(-4 + 6) - 4 = \ln(2) - 4$ .

Respuesta: $h(x) = \ln(2x - 6) - 4$ , con $\operatorname{Dom}(h) = (3; +\infty)$ .

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Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4