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1° Parcial · Tema 2I · Matemática 51

Matemática 51· CBC · Cátedra única · Sede Drago · 1C 2025

Fuente: Altillo.com

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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Ejercicio 1

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Hallar todos los números reales aa tales que los puntos de la forma (a,7)(a, 7) están a distancia 8 del (3,7)(3, 7).

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La distancia entre (a,7)(a, 7) y (3,7)(3, 7) es

d=(a−3)2+(7−7)2=(a−3)2=∣a−3∣.d = \sqrt{(a - 3)^2 + (7 - 7)^2} = \sqrt{(a - 3)^2} = |a - 3| .

Pedimos que valga 8:

∣a−3∣=8  ⟺  a−3=8  o  a−3=−8  ⟺  a=11  o  a=−5.|a - 3| = 8 \iff a - 3 = 8 \ \text{ o } \ a - 3 = -8 \iff a = 11 \ \text{ o } \ a = -5 .

Verificación: d((11,7),(3,7))=∣11−3∣=8d\big((11, 7), (3, 7)\big) = |11 - 3| = 8 y d((−5,7),(3,7))=∣−5−3∣=8d\big((-5, 7), (3, 7)\big) = |-5 - 3| = 8.

Respuesta: a=11a = 11 o a=−5a = -5.

Ejercicio 2

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Sea f(x)=−x2+10x−24f(x) = -x^2 + 10x - 24. Hallar los ceros y la imagen de ff.

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Ceros. Resolvemos −x2+10x−24=0-x^2 + 10x - 24 = 0, o lo que es lo mismo, x2−10x+24=0x^2 - 10x + 24 = 0:

x=10±100−962=10±22  ⟺  x=6  o  x=4.x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2} \iff x = 6 \ \text{ o } \ x = 4 .

Es decir, f(x)=−(x−4)(x−6)f(x) = -(x - 4)(x - 6) y C0={4;6}C^0 = \{4; 6\}.

Imagen. Es una parábola con coeficiente principal −1<0-1 < 0, así que tiene un máximo en el vértice. La abscisa del vértice es el punto medio entre los ceros:

xv=4+62=5,f(5)=−25+50−24=1.x_v = \frac{4 + 6}{2} = 5, \qquad f(5) = -25 + 50 - 24 = 1 .

El vértice es (5,1)(5, 1) y la función toma todos los valores menores o iguales que 11.

Respuesta: C0={4;6}C^0 = \{4; 6\} e Im⁡(f)=(−∞;1]\operatorname{Im}(f) = (-\infty; 1].

Ejercicio 3

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Sean f(x)=3x+7f(x) = 3x + 7 y g(x)=17x−14g(x) = \dfrac{1}{7x - 14}. Hallar (f∘g)(x)(f \circ g)(x) y dar las ecuaciones de todas sus asíntotas.

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La composición.

(f∘g)(x)=f(g(x))=3⋅17x−14+7=37x−14+7.(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = 3 \cdot \frac{1}{7x - 14} + 7 = \frac{3}{7x - 14} + 7 .

Si se quiere, en una sola fracción: (f∘g)(x)=3+7(7x−14)7x−14=49x−957x−14(f \circ g)(x) = \dfrac{3 + 7(7x - 14)}{7x - 14} = \dfrac{49x - 95}{7x - 14}.

Dominio. 7x−14=0  ⟺  x=27x - 14 = 0 \iff x = 2, así que Dom⁡(f∘g)=R−{2}\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} - \{2\}.

Asíntota vertical. Cuando x→2x \to 2, el denominador 7x−14→07x - 14 \to 0 y el numerador es 3≠03 \neq 0, así que lim⁡x→2∣37x−14+7∣=+∞\displaystyle \lim_{x \to 2} \left| \frac{3}{7x - 14} + 7 \right| = +\infty. Asíntota vertical: x=2x = 2.

Asíntota horizontal.

lim⁡x→±∞(37x−14+7)=0+7=7.\lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{3}{7x - 14} + 7 \right) = 0 + 7 = 7 .

Asíntota horizontal: y=7y = 7. (Es una función homográfica, así que no tiene otras asíntotas.)

Respuesta: (f∘g)(x)=37x−14+7(f \circ g)(x) = \dfrac{3}{7x - 14} + 7; asíntota vertical x=2x = 2 y asíntota horizontal y=7y = 7.

Ejercicio 4

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Sea f(x)=8sen⁡(x)−3f(x) = 8 \operatorname{sen}(x) - 3. Hallar todos los x∈[0;2π]x \in [0; 2\pi] tales que f(x)=1f(x) = 1.

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Planteamos la ecuación:

8sen⁡(x)−3=1  ⟺  8sen⁡(x)=4  ⟺  sen⁡(x)=12.8 \operatorname{sen}(x) - 3 = 1 \iff 8 \operatorname{sen}(x) = 4 \iff \operatorname{sen}(x) = \frac{1}{2} .

En [0;2π][0; 2\pi] el seno es positivo en el primer y el segundo cuadrante. En el primero, sen⁡(x)=12\operatorname{sen}(x) = \frac{1}{2} para x=π6x = \frac{\pi}{6}; en el segundo, para x=π−π6=5π6x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. En el tercer y el cuarto cuadrante el seno es negativo, así que no hay más soluciones.

Verificación: f(π6)=8⋅12−3=1f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 1 y f(5π6)=8⋅12−3=1f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 1.

Respuesta: x=π6x = \dfrac{\pi}{6} y x=5π6x = \dfrac{5\pi}{6}.