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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Ejercicio 1
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Escribir al conjunto A = { x ∈ R / 2 x + 5 x + 9 < 1 } A = \left\{x \in \mathbb{R} / \dfrac{2x + 5}{x + 9} < 1\right\} A = { x ∈ R / x + 9 2 x + 5 < 1 }
Ver solución (sin revisar) Dominio. La expresión está definida para x ≠ − 9 x \neq -9 x = − 9
Pasamos todo a un miembro. No conviene multiplicar por x + 9 x + 9 x + 9 x x x 1 1 1
2 x + 5 x + 9 − 1 < 0 ⟺ 2 x + 5 − ( x + 9 ) x + 9 < 0 ⟺ x − 4 x + 9 < 0. \frac{2x + 5}{x + 9} - 1 < 0 \iff \frac{2x + 5 - (x + 9)}{x + 9} < 0 \iff \frac{x - 4}{x + 9} < 0 . x + 9 2 x + 5 − 1 < 0 ⟺ x + 9 2 x + 5 − ( x + 9 ) < 0 ⟺ x + 9 x − 4 < 0. Signo del cociente. Un cociente es negativo cuando numerador y denominador tienen signos opuestos:
x − 4 > 0 x - 4 > 0 x − 4 > 0 x + 9 < 0 x + 9 < 0 x + 9 < 0 x > 4 x > 4 x > 4 x < − 9 x < -9 x < − 9 x − 4 < 0 x - 4 < 0 x − 4 < 0 x + 9 > 0 x + 9 > 0 x + 9 > 0 x < 4 x < 4 x < 4 x > − 9 x > -9 x > − 9 − 9 < x < 4 -9 < x < 4 − 9 < x < 4 Control: con x = 0 x = 0 x = 0 5 9 < 1 \dfrac{5}{9} < 1 9 5 < 1 x = 5 x = 5 x = 5 15 14 > 1 \dfrac{15}{14} > 1 14 15 > 1 x = − 10 x = -10 x = − 10 − 15 − 1 = 15 > 1 \dfrac{-15}{-1} = 15 > 1 − 1 − 15 = 15 > 1
Respuesta: A = ( − 9 ; 4 ) A = (-9; 4) A = ( − 9 ; 4 )
Ejercicio 2
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Hallar los ceros y el conjunto de negatividad de f ( x ) = x 3 − 5 x 2 − 6 x f(x) = x^3 - 5x^2 - 6x f ( x ) = x 3 − 5 x 2 − 6 x
Ver solución (sin revisar) Ceros. Sacamos factor común x x x
f ( x ) = x ( x 2 − 5 x − 6 ) . f(x) = x\,(x^2 - 5x - 6) . f ( x ) = x ( x 2 − 5 x − 6 ) . Para x 2 − 5 x − 6 = 0 x^2 - 5x - 6 = 0 x 2 − 5 x − 6 = 0
x = 5 ± 25 + 24 2 = 5 ± 7 2 ⟹ x = 6 o x = − 1. x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \implies x = 6 \ \text{ o } \ x = -1 . x = 2 5 ± 25 + 24 = 2 5 ± 7 ⟹ x = 6 o x = − 1. Entonces f ( x ) = x ( x − 6 ) ( x + 1 ) f(x) = x\,(x - 6)(x + 1) f ( x ) = x ( x − 6 ) ( x + 1 )
C 0 = { − 1 ; 0 ; 6 } . C^0 = \{-1;\ 0;\ 6\} . C 0 = { − 1 ; 0 ; 6 } . Signo. Como f f f
Intervalo Valor f ( x ) f(x) f ( x ) Signo ( − ∞ ; − 1 ) (-\infty; -1) ( − ∞ ; − 1 ) x = − 2 x = -2 x = − 2 − 8 − 20 + 12 = − 16 -8 - 20 + 12 = -16 − 8 − 20 + 12 = − 16 − - − ( − 1 ; 0 ) (-1; 0) ( − 1 ; 0 ) x = − 1 2 x = -\frac{1}{2} x = − 2 1 − 1 8 − 5 4 + 3 = 13 8 -\frac{1}{8} - \frac{5}{4} + 3 = \frac{13}{8} − 8 1 − 4 5 + 3 = 8 13 + + + ( 0 ; 6 ) (0; 6) ( 0 ; 6 ) x = 1 x = 1 x = 1 1 − 5 − 6 = − 10 1 - 5 - 6 = -10 1 − 5 − 6 = − 10 − - − ( 6 ; + ∞ ) (6; +\infty) ( 6 ; + ∞ ) x = 7 x = 7 x = 7 343 − 245 − 42 = 56 343 - 245 - 42 = 56 343 − 245 − 42 = 56 + + +
Respuesta: C 0 = { − 1 ; 0 ; 6 } C^0 = \{-1;\ 0;\ 6\} C 0 = { − 1 ; 0 ; 6 } C − = ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 6 ) C^- = (-\infty; -1) \cup (0; 6) C − = ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 6 )
Ejercicio 3
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Sean f ( x ) = 6 x + 1 x − 8 f(x) = \dfrac{6x + 1}{x - 8} f ( x ) = x − 8 6 x + 1 g ( x ) = 2 x g(x) = 2x g ( x ) = 2 x h ( x ) = f ∘ g ( x ) h(x) = f \circ g(x) h ( x ) = f ∘ g ( x ) h ( x ) h(x) h ( x )
Ver solución (sin revisar) La composición. h ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( 2 x ) h(x) = f\big(g(x)\big) = f(2x) h ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( 2 x )
h ( x ) = 6 ⋅ 2 x + 1 2 x − 8 = 12 x + 1 2 x − 8 . h(x) = \frac{6 \cdot 2x + 1}{2x - 8} = \frac{12x + 1}{2x - 8} . h ( x ) = 2 x − 8 6 ⋅ 2 x + 1 = 2 x − 8 12 x + 1 . Dominio. 2 x − 8 = 0 ⟺ x = 4 2x - 8 = 0 \iff x = 4 2 x − 8 = 0 ⟺ x = 4 g g g R \mathbb{R} R g ( x ) = 8 ⟺ x = 4 g(x) = 8 \iff x = 4 g ( x ) = 8 ⟺ x = 4 Dom ( h ) = R − { 4 } \operatorname{Dom}(h) = \mathbb{R} - \{4\} Dom ( h ) = R − { 4 }
Asíntota vertical. En x = 4 x = 4 x = 4 12 ⋅ 4 + 1 = 49 ≠ 0 12 \cdot 4 + 1 = 49 \neq 0 12 ⋅ 4 + 1 = 49 = 0 lim x → 4 ∣ h ( x ) ∣ = + ∞ \displaystyle \lim_{x \to 4} |h(x)| = +\infty x → 4 lim ∣ h ( x ) ∣ = + ∞ x = 4 x = 4 x = 4
Asíntota horizontal.
lim x → ± ∞ 12 x + 1 2 x − 8 = lim x → ± ∞ 12 + 1 x 2 − 8 x = 12 2 = 6. \lim_{x \to \pm\infty} \frac{12x + 1}{2x - 8} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{12 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{8}{x}} = \frac{12}{2} = 6 . x → ± ∞ lim 2 x − 8 12 x + 1 = x → ± ∞ lim 2 − x 8 12 + x 1 = 2 12 = 6. Asíntota horizontal: y = 6 y = 6 y = 6
Respuesta: h ( x ) = 12 x + 1 2 x − 8 h(x) = \dfrac{12x + 1}{2x - 8} h ( x ) = 2 x − 8 12 x + 1 x = 4 x = 4 x = 4 y = 6 y = 6 y = 6
Ejercicio 4
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Sea f ( x ) = 6 + e x + 4 f(x) = 6 + e^{x + 4} f ( x ) = 6 + e x + 4 f − 1 f^{-1} f − 1 f − 1 f^{-1} f − 1
Ver solución (sin revisar) Imagen de f f f Como e x + 4 > 0 e^{x + 4} > 0 e x + 4 > 0 Im ( f ) = ( 6 ; + ∞ ) \operatorname{Im}(f) = (6; +\infty) Im ( f ) = ( 6 ; + ∞ ) f − 1 f^{-1} f − 1
Despejamos. Escribimos y = 6 + e x + 4 y = 6 + e^{x + 4} y = 6 + e x + 4 x x x y > 6 y > 6 y > 6
y − 6 = e x + 4 ln ( y − 6 ) = x + 4 x = ln ( y − 6 ) − 4. \begin{aligned}
y - 6 &= e^{x + 4} \\
\ln(y - 6) &= x + 4 \\
x &= \ln(y - 6) - 4 .
\end{aligned} y − 6 ln ( y − 6 ) x = e x + 4 = x + 4 = ln ( y − 6 ) − 4. Entonces f − 1 ( x ) = ln ( x − 6 ) − 4 f^{-1}(x) = \ln(x - 6) - 4 f − 1 ( x ) = ln ( x − 6 ) − 4 x − 6 > 0 ⟺ x > 6 x - 6 > 0 \iff x > 6 x − 6 > 0 ⟺ x > 6 f f f
Verificación: f ( 0 ) = 6 + e 4 f(0) = 6 + e^4 f ( 0 ) = 6 + e 4 f − 1 ( 6 + e 4 ) = ln ( e 4 ) − 4 = 0 f^{-1}(6 + e^4) = \ln(e^4) - 4 = 0 f − 1 ( 6 + e 4 ) = ln ( e 4 ) − 4 = 0
Respuesta: f − 1 ( x ) = ln ( x − 6 ) − 4 f^{-1}(x) = \ln(x - 6) - 4 f − 1 ( x ) = ln ( x − 6 ) − 4 Dom ( f − 1 ) = ( 6 ; + ∞ ) \operatorname{Dom}(f^{-1}) = (6; +\infty) Dom ( f − 1 ) = ( 6 ; + ∞ )