Este examen todavía no lo revisó un docente: la transcripción y las soluciones pueden tener errores. Cada ejercicio indica qué ya está revisado. Si encontrás un error, avisame .
En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Ejercicio 1
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f f f ( 0 , 6 ) (0, 6) ( 0 , 6 ) ( 14 , 4 ) (14, 4) ( 14 , 4 ) A = { x ∈ R / f ( x ) > 0 } A = \{x \in \mathbb{R} / f(x) > 0\} A = { x ∈ R / f ( x ) > 0 }
Ver solución (sin revisar) La función lineal. Escribimos f ( x ) = m x + b f(x) = mx + b f ( x ) = m x + b
m = 4 − 6 14 − 0 = − 2 14 = − 1 7 . m = \frac{4 - 6}{14 - 0} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7} . m = 14 − 0 4 − 6 = 14 − 2 = − 7 1 . Como pasa por ( 0 , 6 ) (0, 6) ( 0 , 6 ) b = 6 b = 6 b = 6 f ( x ) = − 1 7 x + 6 f(x) = -\dfrac{1}{7}x + 6 f ( x ) = − 7 1 x + 6
Verificación: f ( 14 ) = − 14 7 + 6 = − 2 + 6 = 4 f(14) = -\dfrac{14}{7} + 6 = -2 + 6 = 4 f ( 14 ) = − 7 14 + 6 = − 2 + 6 = 4
El conjunto A A A Resolvemos la inecuación:
− 1 7 x + 6 > 0 ⟺ − 1 7 x > − 6 ⟺ x < 42. -\frac{1}{7}x + 6 > 0 \iff -\frac{1}{7}x > -6 \iff x < 42 . − 7 1 x + 6 > 0 ⟺ − 7 1 x > − 6 ⟺ x < 42. (Al multiplicar por − 7 < 0 -7 < 0 − 7 < 0
Respuesta: A = ( − ∞ ; 42 ) A = (-\infty; 42) A = ( − ∞ ; 42 )
Ejercicio 2
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = ( x 3 + 2 x 2 − 24 x ) ( x − 4 ) f(x) = (x^3 + 2x^2 - 24x)(x - 4) f ( x ) = ( x 3 + 2 x 2 − 24 x ) ( x − 4 ) f f f
Ver solución (sin revisar) Factorización. Sacamos factor común x x x
x 3 + 2 x 2 − 24 x = x ( x 2 + 2 x − 24 ) . x^3 + 2x^2 - 24x = x(x^2 + 2x - 24) . x 3 + 2 x 2 − 24 x = x ( x 2 + 2 x − 24 ) . Las raíces de x 2 + 2 x − 24 x^2 + 2x - 24 x 2 + 2 x − 24
x = − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 24 ) 2 = − 2 ± 100 2 = − 2 ± 10 2 , x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2} , x = 2 − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 24 ) = 2 − 2 ± 100 = 2 − 2 ± 10 , o sea x = 4 x = 4 x = 4 x = − 6 x = -6 x = − 6 x 2 + 2 x − 24 = ( x − 4 ) ( x + 6 ) x^2 + 2x - 24 = (x - 4)(x + 6) x 2 + 2 x − 24 = ( x − 4 ) ( x + 6 )
f ( x ) = x ( x + 6 ) ( x − 4 ) 2 . f(x) = x\,(x + 6)\,(x - 4)^2 . f ( x ) = x ( x + 6 ) ( x − 4 ) 2 . Ceros. f ( x ) = 0 ⟺ x = 0 f(x) = 0 \iff x = 0 f ( x ) = 0 ⟺ x = 0 x = − 6 x = -6 x = − 6 x = 4 x = 4 x = 4
C 0 = { − 6 ; 0 ; 4 } C^0 = \{-6;\ 0;\ 4\} C 0 = { − 6 ; 0 ; 4 } Positividad. El factor ( x − 4 ) 2 (x - 4)^2 ( x − 4 ) 2 x ≠ 4 x \neq 4 x = 4 f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 x ( x + 6 ) > 0 x(x + 6) > 0 x ( x + 6 ) > 0 x ≠ 4 x \neq 4 x = 4
Intervalo Valor x ( x + 6 ) x(x+6) x ( x + 6 ) ( x − 4 ) 2 (x-4)^2 ( x − 4 ) 2 f ( x ) f(x) f ( x ) ( − ∞ ; − 6 ) (-\infty; -6) ( − ∞ ; − 6 ) x = − 7 x = -7 x = − 7 7 7 7 121 121 121 + + + ( − 6 ; 0 ) (-6; 0) ( − 6 ; 0 ) x = − 1 x = -1 x = − 1 − 5 -5 − 5 25 25 25 − - − ( 0 ; 4 ) (0; 4) ( 0 ; 4 ) x = 1 x = 1 x = 1 7 7 7 9 9 9 + + + ( 4 ; + ∞ ) (4; +\infty) ( 4 ; + ∞ ) x = 5 x = 5 x = 5 55 55 55 1 1 1 + + +
Respuesta: C 0 = { − 6 ; 0 ; 4 } C^0 = \{-6;\ 0;\ 4\} C 0 = { − 6 ; 0 ; 4 } C + = ( − ∞ ; − 6 ) ∪ ( 0 ; 4 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) C^+ = (-\infty; -6) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty) C + = ( − ∞ ; − 6 ) ∪ ( 0 ; 4 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )
Ejercicio 3
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = 3 x − 1 x − 6 + 2 f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 6} + 2 f ( x ) = x − 6 3 x − 1 + 2 f f f
Ver solución (sin revisar) Dominio. El único problema es el denominador: x − 6 ≠ 0 ⟺ x ≠ 6 x - 6 \neq 0 \iff x \neq 6 x − 6 = 0 ⟺ x = 6
Dom ( f ) = R − { 6 } . \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{6\} . Dom ( f ) = R − { 6 } . Una sola fracción. Para estudiar las asíntotas conviene escribir f f f
f ( x ) = 3 x − 1 x − 6 + 2 ( x − 6 ) x − 6 = 3 x − 1 + 2 x − 12 x − 6 = 5 x − 13 x − 6 . f(x) = \frac{3x - 1}{x - 6} + \frac{2(x - 6)}{x - 6} = \frac{3x - 1 + 2x - 12}{x - 6} = \frac{5x - 13}{x - 6} . f ( x ) = x − 6 3 x − 1 + x − 6 2 ( x − 6 ) = x − 6 3 x − 1 + 2 x − 12 = x − 6 5 x − 13 . Asíntota vertical. En x = 6 x = 6 x = 6 5 ⋅ 6 − 13 = 17 ≠ 0 5 \cdot 6 - 13 = 17 \neq 0 5 ⋅ 6 − 13 = 17 = 0 f f f 6 6 6
AV: x = 6. \text{AV: } x = 6 . AV: x = 6. Asíntota horizontal. Cuando x → ± ∞ x \to \pm\infty x → ± ∞
lim x → ± ∞ 5 x − 13 x − 6 = 5 1 = 5 ⇒ AH: y = 5. \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x - 13}{x - 6} = \frac{5}{1} = 5 \quad\Rightarrow\quad \text{AH: } y = 5 . x → ± ∞ lim x − 6 5 x − 13 = 1 5 = 5 ⇒ AH: y = 5. (También se ve sin juntar: 3 x − 1 x − 6 → 3 \dfrac{3x - 1}{x - 6} \to 3 x − 6 3 x − 1 → 3 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5
Ejercicio 4
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = 5 + e 4 x f(x) = 5 + e^{4x} f ( x ) = 5 + e 4 x f − 1 f^{-1} f − 1 f − 1 f^{-1} f − 1
Ver solución (sin revisar) Imagen de f f f Como e 4 x > 0 e^{4x} > 0 e 4 x > 0 x x x Im ( f ) = ( 5 ; + ∞ ) \operatorname{Im}(f) = (5; +\infty) Im ( f ) = ( 5 ; + ∞ ) f − 1 f^{-1} f − 1
La inversa. Despejamos x x x y = 5 + e 4 x y = 5 + e^{4x} y = 5 + e 4 x y > 5 y > 5 y > 5
y − 5 = e 4 x ⟺ ln ( y − 5 ) = 4 x ⟺ x = ln ( y − 5 ) 4 . y - 5 = e^{4x} \iff \ln(y - 5) = 4x \iff x = \frac{\ln(y - 5)}{4} . y − 5 = e 4 x ⟺ ln ( y − 5 ) = 4 x ⟺ x = 4 ln ( y − 5 ) . Entonces
f − 1 ( x ) = ln ( x − 5 ) 4 , Dom ( f − 1 ) = ( 5 ; + ∞ ) . f^{-1}(x) = \frac{\ln(x - 5)}{4}, \qquad \operatorname{Dom}(f^{-1}) = (5; +\infty) . f − 1 ( x ) = 4 ln ( x − 5 ) , Dom ( f − 1 ) = ( 5 ; + ∞ ) . Verificación: f ( f − 1 ( x ) ) = 5 + e ln ( x − 5 ) = 5 + ( x − 5 ) = x f\big(f^{-1}(x)\big) = 5 + e^{\ln(x - 5)} = 5 + (x - 5) = x f ( f − 1 ( x ) ) = 5 + e l n ( x − 5 ) = 5 + ( x − 5 ) = x
Ceros de f − 1 f^{-1} f − 1
ln ( x − 5 ) 4 = 0 ⟺ ln ( x − 5 ) = 0 ⟺ x − 5 = e 0 = 1 ⟺ x = 6 , \frac{\ln(x - 5)}{4} = 0 \iff \ln(x - 5) = 0 \iff x - 5 = e^0 = 1 \iff x = 6 , 4 ln ( x − 5 ) = 0 ⟺ ln ( x − 5 ) = 0 ⟺ x − 5 = e 0 = 1 ⟺ x = 6 , que está en el dominio. (También: f ( 0 ) = 5 + e 0 = 6 f(0) = 5 + e^0 = 6 f ( 0 ) = 5 + e 0 = 6 f − 1 ( 6 ) = 0 f^{-1}(6) = 0 f − 1 ( 6 ) = 0
Respuesta: f − 1 ( x ) = ln ( x − 5 ) 4 f^{-1}(x) = \dfrac{\ln(x - 5)}{4} f − 1 ( x ) = 4 ln ( x − 5 ) Dom ( f − 1 ) = ( 5 ; + ∞ ) \operatorname{Dom}(f^{-1}) = (5; +\infty) Dom ( f − 1 ) = ( 5 ; + ∞ ) C 0 = { 6 } C^0 = \{6\} C 0 = { 6 }