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1° Parcial · Tema 4I · Matemática 51

Matemática 51· CBC · Cátedra única · Sede Drago · 1C 2023

Fuente: Altillo.com

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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Ejercicio 1

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Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto A={x∈R / x+1x−5<1}A = \left\{x \in \mathbb{R} \,/\, \dfrac{x + 1}{x - 5} < 1\right\}.

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Dominio. El denominador se anula en x=5x = 5, así que x≠5x \neq 5.

Pasamos todo a un miembro. No conviene multiplicar por x−5x - 5 (no sabemos su signo):

x+1x−5−1<0  ⟺  x+1−(x−5)x−5<0  ⟺  6x−5<0.\frac{x + 1}{x - 5} - 1 < 0 \iff \frac{x + 1 - (x - 5)}{x - 5} < 0 \iff \frac{6}{x - 5} < 0 .

Signo del cociente. El numerador 66 es positivo, así que el cociente es negativo exactamente cuando el denominador es negativo:

x−5<0  ⟺  x<5.x - 5 < 0 \iff x < 5 .

Control: con x=0x = 0, 0+10−5=−15<1\dfrac{0 + 1}{0 - 5} = -\dfrac{1}{5} < 1 ✓; con x=6x = 6, 71=7≮1\dfrac{7}{1} = 7 \not< 1 ✓.

Respuesta: A=(−∞;5)A = (-\infty; 5).

Ejercicio 2

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Sea PP el vértice de la parábola del gráfico de la función f(x)=−2x2+4x+1f(x) = -2x^2 + 4x + 1. Hallar la fórmula de la función lineal que pasa por PP y por (−2,5)(-2, 5).

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El vértice. Con a=−2a = -2 y b=4b = 4:

xv=−b2a=−42⋅(−2)=1,yv=f(1)=−2⋅12+4⋅1+1=3.x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1, \qquad y_v = f(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 = 3 .

Entonces P=(1,3)P = (1, 3).

La función lineal. Buscamos g(x)=mx+bg(x) = mx + b que pase por (1,3)(1, 3) y (−2,5)(-2, 5). La pendiente es

m=5−3−2−1=2−3=−23.m = \frac{5 - 3}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} .

Como pasa por (1,3)(1, 3): 3=−23⋅1+b  ⟺  b=3+23=1133 = -\dfrac{2}{3} \cdot 1 + b \iff b = 3 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{11}{3}.

Verificación: g(−2)=−23⋅(−2)+113=43+113=153=5g(-2) = -\dfrac{2}{3} \cdot (-2) + \dfrac{11}{3} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{11}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 ✓.

Respuesta: g(x)=−23x+113g(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{11}{3}.

Ejercicio 3

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Sean f(x)=x−6xf(x) = \dfrac{x - 6}{x}, g(x)=2x+4g(x) = 2x + 4 y h(x)=g∘f(x)h(x) = g \circ f(x). Hallar h(x)h(x) y dar las ecuaciones de todas las asíntotas de h(x)h(x).

Ver solución (sin revisar)

La composición.

h(x)=g(f(x))=2⋅x−6x+4=2x−12+4xx=6x−12x.h(x) = g\big(f(x)\big) = 2 \cdot \frac{x - 6}{x} + 4 = \frac{2x - 12 + 4x}{x} = \frac{6x - 12}{x} .

Su dominio es el de ff: Dom⁡(h)=R−{0}\operatorname{Dom}(h) = \mathbb{R} - \{0\} (gg está definida en todo R\mathbb{R}).

Asíntota vertical. En x=0x = 0 el denominador se anula y el numerador vale 6⋅0−12=−12≠06 \cdot 0 - 12 = -12 \neq 0, así que lim⁡x→0∣h(x)∣=+∞\displaystyle \lim_{x \to 0} |h(x)| = +\infty. Asíntota vertical: x=0x = 0.

Asíntota horizontal.

lim⁡x→±∞6x−12x=lim⁡x→±∞(6−12x)=6.\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x - 12}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(6 - \frac{12}{x}\right) = 6 .

Asíntota horizontal: y=6y = 6. (Es un cociente de polinomios de grado 1, así que no hay asíntota oblicua.)

Respuesta: h(x)=6x−12xh(x) = \dfrac{6x - 12}{x}; asíntota vertical x=0x = 0 y asíntota horizontal y=6y = 6.

Ejercicio 4

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Sea f(x)=cos⁡(x)+12f(x) = \cos(x) + \dfrac{1}{2}. Hallar todos los x∈[−π;2π]x \in [-\pi; 2\pi] tales que f(x)=0f(x) = 0.

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La ecuación.

cos⁡(x)+12=0  ⟺  cos⁡(x)=−12.\cos(x) + \frac{1}{2} = 0 \iff \cos(x) = -\frac{1}{2} .

Como cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, en [0;2π)[0; 2\pi) el coseno vale −12-\dfrac{1}{2} en el segundo y el tercer cuadrante:

x=π−π3=2π3,x=π+π3=4π3.x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}, \qquad x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} .

Todas las soluciones en R\mathbb{R} son x=2π3+2kπx = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi y x=4π3+2kπx = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, con k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Las que caen en [−π;2π][-\pi; 2\pi].

  • x=2π3+2kπx = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi: con k=0k = 0 da 2π3\dfrac{2\pi}{3}; con k=1k = 1 da 8π3>2π\dfrac{8\pi}{3} > 2\pi; con k=−1k = -1 da −4π3<−π-\dfrac{4\pi}{3} < -\pi. Solo sirve 2π3\dfrac{2\pi}{3}.
  • x=4π3+2kπx = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi: con k=0k = 0 da 4π3\dfrac{4\pi}{3}; con k=−1k = -1 da −2π3∈[−π;2π]-\dfrac{2\pi}{3} \in [-\pi; 2\pi]; con k=1k = 1 da 10π3>2π\dfrac{10\pi}{3} > 2\pi; con k=−2k = -2 da −8π3<−π-\dfrac{8\pi}{3} < -\pi.

Verificación: cos⁡(−2π3)=cos⁡(2π3)=−12\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} ✓.

Respuesta: x∈{−2π3,2π3,4π3}x \in \left\{ -\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3} \right\}.