1° Parcial · Tema 4A · Álgebra 27

Paso 1: el punto $C$. Está en el eje $z$, así que $C = (0,0,c)$. El triángulo es rectángulo en $C$ si $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$:

Entonces $c = -1$ o $c = -3$: hay dos puntos posibles, $C_1 = (0,0,-1)$ y $C_2 = (0,0,-3)$.

Paso 2: el plano por $A$, $B$ y cada $C$. Usamos $\overrightarrow{AB} = (2,-4,0)$.

• Con $C_1$: $\overrightarrow{AC_1} = (-1,-2,1)$ y $(2,-4,0) \times (-1,-2,1) = (-4,-2,-8)$, paralelo a $(2,1,4)$. Plano $2x + y + 4z = d$ con $C_1$: $d = -4$.
• Con $C_2$: $\overrightarrow{AC_2} = (-1,-2,-1)$ y $(2,-4,0) \times (-1,-2,-1) = (4,2,-8)$, paralelo a $(2,1,-4)$. Plano $2x + y - 4z = d$ con $C_2$: $d = 12$.

Verificación.

• $2x + y + 4z = -4$: $A$ da $2 + 2 - 8 = -4$, $B$ da $6 - 2 - 8 = -4$, $C_1$ da $-4$.
• $2x + y - 4z = 12$: $A$ da $2 + 2 + 8 = 12$, $B$ da $6 - 2 + 8 = 12$, $C_2$ da $12$.

En los dos el coeficiente de $z$ no es cero, así que cortan al eje $z$ en un único punto (que es el $C$ correspondiente).

Respuesta: los planos son $2x + y + 4z = -4$ y $2x + y - 4z = 12$.

Condición 1: $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ tiene solución única si y solo si $\det A \neq 0$.

Entonces necesitamos $k \neq 2$.

Condición 2: $A\mathbf{x} = B\mathbf{x}$ equivale a $(A - B)\mathbf{x} = \mathbf{0}$, que es homogéneo (siempre tiene la solución nula). Tiene infinitas soluciones si y solo si $\det(A - B) = 0$.

Desarrollando por la segunda fila:

Se anula para $k = 2$ o $k = -3$.

Juntando las dos condiciones: $k = 2$ queda descartado por la condición 1. Para $k = -3$: $\det A = 10 \neq 0$ y $\det(A - B) = 0$.

Respuesta: $k = -3$.

Paso 1: el valor de $a$. Si $(\mathbb{S} \cap \mathbb{W}) \oplus \mathbb{T} = \mathbb{S}$, entonces $\mathbb{T} \subseteq \mathbb{S}$. Reemplazamos los generadores de $\mathbb{T}$ en la ecuación de $\mathbb{S}$:

• $(2,3,-1,2)$: $2 + 3a + 2 + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
• $(1,-2,2,-1)$: $1 - 2a - 4 - 1 = 0 \Rightarrow a = -2$.

Coinciden, así que $a = -2$ (con otro valor es imposible) y $\mathbb{S} = \{x_1 - 2x_2 - 2x_3 + x_4 = 0\}$, de dimensión 3.

Paso 2: qué tiene que cumplir $\mathbb{W}$. Como $\dim \mathbb{S} = 3$ y $\dim \mathbb{T} = 2$, necesitamos que $\mathbb{S} \cap \mathbb{W}$ tenga dimensión 1, generado por un vector de $\mathbb{S}$ que no esté en $\mathbb{T}$. Y para que $\mathbb{S} + \mathbb{W} = \mathbb{R}^4$, $\mathbb{W}$ tiene que tener algún vector fuera de $\mathbb{S}$.

Paso 3: proponer $\mathbb{W}$. Tomamos $s = (2,1,0,0) \in \mathbb{S}$ (pues $2 - 2 = 0$) y $e = (1,0,0,0) \notin \mathbb{S}$:

Verificación.

• $\mathbb{S} \cap \mathbb{W}$: un vector de $\mathbb{W}$ es $\alpha(2,1,0,0) + \beta(1,0,0,0) = (2\alpha + \beta, \alpha, 0, 0)$; está en $\mathbb{S}$ si $2\alpha + \beta - 2\alpha = \beta = 0$. Entonces $\mathbb{S} \cap \mathbb{W} = \langle (2,1,0,0) \rangle$.
• $(2,1,0,0) \notin \mathbb{T}$: si $\alpha(2,3,-1,2) + \beta(1,-2,2,-1)$ tuviera tercera y cuarta coordenada nulas, $-\alpha + 2\beta = 0$ y $2\alpha - \beta = 0$ dan $\alpha = \beta = 0$. Entonces la suma $\langle (2,1,0,0) \rangle + \mathbb{T}$ es directa, tiene dimensión 3 y está dentro de $\mathbb{S}$, así que es $\mathbb{S}$.
• $\mathbb{S} + \mathbb{W}$ contiene a $\mathbb{S}$ (dimensión 3) y a $(1,0,0,0) \notin \mathbb{S}$, así que tiene dimensión 4: es $\mathbb{R}^4$.

Respuesta: $a = -2$ y, por ejemplo, $\mathbb{W} = \langle (2,1,0,0), (1,0,0,0) \rangle$ (hay otras respuestas válidas).

Paso 1: hallar $\mathbf{v}$. Que $(\mathbf{w})_B = (3,1,-1)$ significa

(Es base: el determinante de $(1,1,1), (0,2,1), (-1,1,1)$ da $2 \neq 0$.)

Paso 2: coordenadas de $\mathbf{z}$. Buscamos $\alpha, \beta, \gamma$ con $\alpha(1,1,1) + \beta(0,2,1) + \gamma(-1,1,1) = (3,5,0)$:

Restando la tercera a la segunda: $\beta = 5$. Entonces $\alpha + \gamma = -5$ y $\alpha - \gamma = 3$, de donde $\alpha = -1$ y $\gamma = -4$.

Verificación: $-(1,1,1) + 5(0,2,1) - 4(-1,1,1) = (3,5,0)$.

Respuesta: $\mathbf{v} = (-1,1,1)$ y $(\mathbf{z})_B = (-1,5,-4)$.